Introducción
Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del problema de la duplicación del cubo.
De ahí se demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes. Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.
Propiedades
Se trata de una curva abierta, formada por dos ramas, que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo ? mediante un plano P que no pasa por el vértice y que corta a e con un ángulo ? menor que ?.
La hipérbola se puede definir como lugar geométrico del siguiente modo: dados dos puntos fijos, F y F?, llamados focos, y un número positivo k.
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos, P, tales que la diferencia de distancias a los focos es igual a k:
La hipérbola tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.
Además de los focos y de las asíntotas, r y r?, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:
Centro, O.
Vértices, A y A?.
Distancia entre los vértices,
Distancia entre los focos,
.
El triángulo de lados a, b, c es rectángulo. Por tanto, se cumple que
b2 = c2 – a2
La excentricidad de una hipérbola es e = c/a.
Puesto que c > a se verifica que e > 1. Es decir, la excentricidad de cualquier hipérbola es un número mayor que 1.
Características relevantes
Una propiedad importante de la hipérbola es que si desde un punto de la curva se trazan los segmentos correspondientes a las distancias de este punto a los focos, la bisectriz del ángulo formado por ambos segmentos es tangente a la hipérbola.
Las órbitas de algunos cometas son hipérbolas. Estos cometas sólo se acercan una vez al Sol, que es uno de los focos de su trayectoria. Después se alejarán perdiéndose en los confines del Sistema Solar.
Existe un sistema de ayuda a la navegación, llamado loran, basado en las hipérbolas y sus propiedades, que permite a los barcos y aviones determinar su posición, sobre una carta marina.
Expresión analítica de la hipérbola
Si situamos el eje X en la línea de los focos de una hipérbola y el eje Y en la mediatriz del segmento FF?, entonces la ecuación de la hipérbola adopta la expresión siguiente, llamada ecuación reducida de una hipérbola:
Las asíntotas tienen las ecuaciones
Si a = b, la hipérbola es equilátera. Su ecuación es:
y sus asíntotas son las rectas y = x, y = -x.
También son hipérbolas equiláteras las curvas de ecuaciones y = a/x. Sus asíntotas son los ejes coordenados.