Aplicaciones entre conjuntos

Aplicaciones entre dos conjuntos

Una aplicación entre dos conjuntos A y B es una regla que permite asignar a cada elemento de A, uno de B. La aplicación f del conjunto A en el conjunto B se indica mediante f: A —> B. El conjunto A se llama conjunto inicial, y el B conjunto final.
Si la aplicación f asigna al elemento a?A el elemento b?B, diremos que b es la imagen de a, lo que se denota por f(a) = b.

La regla ha de estar inequívocamente definida, de modo que para todos y cada uno de los elementos de A, esté claro qué elemento de B es su imagen.

Clasificación de las aplicaciones

Se dice que una aplicación es inyectiva si no hay dos elementos que tengan imágenes iguales. Una aplicación inyectiva “crea una copia” de A dentro de B.
Se dice que una aplicación es suprayectiva (o sobreyectiva) si todos los elementos del conjunto final B han sido utilizados.
Se dice que una aplicación es biyectiva si es a la vez inyectiva y suprayectiva. Una aplicación biyectiva establece una “igualdad” entre los conjuntos A y B, pues a cada elemento de A le corresponde uno de B, y a cada elemento de B, exactamente uno de A.

Aplicación lineal

En matemática una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar.

El término función lineal se usa también en análisis matemático y en geometría para designar una recta, un plano, o en general una variedad lineal.

En álgebra abstracta una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.

Dados dos espacios vectoriales V y W, y dada una aplicación f: V W, diremos que f es lineal si conserva las combinaciones lineales, es decir: dada una combinación lineal entre vectores de V, sus imágenes en W verifican la misma combinación:

si u = ? v + ? w (en V) entonces u’ = ? v’ + ? w’ (en W) donde u’, v’, w’ son respectivamente las imágenes de u, v, w.

Esto se puede expresar también así:

1.- f(? v+ ? w) = ? f(v) + ? f(w) para v, w?V

También es equivalente a afirmar que se conserva la suma y el producto por escalares:

2.- f(v+ w) = f(v) + f(w) para v, w?V
f(? v) = ? f(v) para v?V, ? escalar

Las aplicaciones lineales también se pueden llamar homomorfismos.

Pueden también definirse aplicaciones en subespacios vectoriales, pues éstos funcionan como espacios vectoriales.

Homotecias

De centro el punto O y razón el número real k ? 0, es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto P? tal que (el vector es igual al resultado de multiplicar el vector por el número k). Si k es positivo, P? está en la semirrecta de origen O que pasa por P:

 

 

Homotecia de razón K2

Si k es negativo, P y P? están en semirrectas opuestas de origen O:

 

 

Homotecia

Una homotecia de razón k transforma cada figura en otra semejante a ella con razón de semejanza |k|. Por tanto, las homotecias mantienen las formas de las figuras.

Transformación de subespacios

a) Una aplicación lineal f: V —> W transforma subespacios de V en subespacios de W.

Dado S un subespacio de V, su imagen se denota por f(S). Es el subespacio de W formado por las imágenes de todos los vectores de S.

b) El subespacio f(S) tiene dimensión menor o igual que la dimensión de S.

Además se tiene que si la aplicación f es inyectiva, entonces se conservan las dimensiones, es decir, f(S) tiene la misma dimensión que S.

Observar el significado geométrico de este teorema: ya que los subespacios de ? son rectas, planos…, el apartado a) afirma que éstos no pueden transformarse, por una aplicación lineal, en líneas curvas o superficies curvas.

El apartado b) significa que una recta no puede, por ejemplo, transformarse en un plano (la dimensión no puede aumentar). Un plano podrá transformarse en otro plano; en una recta.