Introducción
Rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que ocurra un determinado suceso. La probabilidad se basa en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.
La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat.
La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por ejemplo, saber cuántos dados hay que lanzar para que la probabilidad de que salga algún seis supere el 50%.
El cálculo matemático de probabilidades se basa en situaciones teóricas en las cuales puede configurarse un espacio muestral cuyos sucesos elementales tengan todos la misma probabilidad.
Por ejemplo, al lanzar un dado ideal, la probabilidad de cada una de las caras es 1/6. Al lanzar dos dados, la probabilidad de cada uno de los resultados es 1/36.
Regla de Laplace
La regla de Laplace sirve para calcular probabilidades de sucesos extraídos de experimentos ideales en los cuales se da por sentado que los distintos sucesos elementales son equiprobables. Sin embargo, la realidad no es así. Por ejemplo, en un dado real la probabilidad de que salga un 4 no es 1/6. Si el dado es muy perfecto, P[4] será, acaso, un número próximo a 1/6, pero no exactamente 1/6. En cualquier caso, se ignora cuál es el valor exacto de la probabilidad para cada dado en concreto.
La forma de averiguar esos valores es mediante la ley de los grandes números. Esta ley afirma que la frecuencia relativa de un suceso, fr(S), cuando el número de experiencias se hace muy grande (tiende a infinito), se estabiliza en torno a un valor que es la probabilidad del suceso, P[S].
Esto se expresa, simbólicamente del siguiente modo: lim fr(S) = P[S]
Según esta ley, para averiguar la probabilidad de un suceso S, se debe realizar la experiencia reiteradamente y calcular la frecuencia relativa de S. Cuanto mayor sea el número de experiencias realizadas más fiable es la estimación de la probabilidad P[S] a partir de la frecuencia relativa fr(S).
Las compañías de seguros evalúan las probabilidades de los sucesos que les interesan (accidentes de coches, inundaciones, epidemias,…) mediante una minuciosa recopilación de datos (experiencias) que les permiten inferir dichas probabilidades con suficiente aproximación como para poder asignar las cuotas de manera justa.
Operaciones con sucesos
Si realizamos un experimento aleatorio y consideramos varios sucesos A, B, C, etc, asociados a dicho experimento, podemos realizar varias operaciones entre ellos. Los más importantes son:
1. Igualdad de sucesos: Dos sucesos A y B son iguales si están compuestos por los mismos elementos. Lo expresaremos por A = B.
2. Intersección de sucesos: Llamaremos suceso intersección de los sucesos A y B, y lo representaremos por A ? B, al suceso “ocurren A y B a la vez”.
Ejemplo: Si tiramos un dado, ya sabemos que el espacio muestral asociado es E={1,2,3,4,5,6}.
Sean los sucesos A=“sacar un nº par”={2,4,6}, y B=“sacar un número entre 2 y 4 (inclusive)”={2,3,4}.
El suceso A ? B es tal que ocurren A y B a la vez, es decir:
A ? B=“sacar un nº par y que esté entre 2 y 4 (inclusive)”={2,4}.
El suceso A ? B son los elementos comunes a los conjuntos A y B (elementos que están en los dos conjuntos).
Intersección de sucesos
En ocasiones podremos encontrarnos con sucesos que NO tengan elementos en común. En estos casos se dice que los sucesos A y B son incompatibles, y su intersección se representa con el conjunto vacío: A ? B = ?
Evidentemente, si los sucesos sí tienen intersección, diremos que son compatibles.
3. Unión de sucesos: Llamaremos suceso unión de los sucesos A y B y se representa por A ? B al suceso “ocurre A o bien ocurre B o bien ocurren ambos a la vez”(también podemos decir que “ocurre alguno”).
Es decir A ? B son los elementos que están en ambos conjuntos (aunque no necesariamente en los dos a la vez). Representado en diagrama de Venn:
Unión de sucesos
Propiedades de las operaciones con sucesos
Las operaciones con sucesos tienen las siguientes propiedades, la mayoría de ellas bien conocidas:
Leyes de De Morgan
Las leyes de Morgan son una parte de la Lógica proposicional y analítica ,y fue creada por Augustus De Morgan (Madurai,1806-Londres,1871).
Las leyes de De Morgan declaran que la suma de n variables globalmente negadas (o invertidas) es igual al producto de las n variables negadas individualmente; y que inversamente, el producto de n variables globalmente negadas es igual a la suma de las n variables negadas individualmente.