Introducción
Relación básica para obtener las propiedades fundamentales de la semejanza de triángulos. Existen dos teoremas en relación a la geometría clásica que reciben el nombre de Teorema de Thales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.
Los dos teoremas de Tales
El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente (los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos).
Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos.
Primer teorema
Es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que:
Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
De hecho, el primer teorema de Thales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.
Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Thales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:
Segundo teorema
El segundo teorema de Thales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:
Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto.
Demostración
En la circunferencia de centro O y radio r , los segmentosOA , OB y OC
son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.
Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son isósceles.
La suma de los ángulos del triángulo ABC es:
Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:
Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.
Triángulos en posición de Tales
Dos triángulos están en posición de Tales si dos lados de los dos triángulos están a las mismas semirectas de origen común o prolongaciones y el tercer lado de un triángulo es paralelo al tercer lado del otro triángulo.
Dos triángulos en posición de Tales son semejantes.
Criterios de semejanza de triángulos
Sean los triángulos
Criterio 1
Es decir, dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados correspondientes que formen el ángulo proporcional.
Criterio 2
Es decir, dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos correspondientes iguales.
Criterio 3
Es decir, dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados correspondientes proporcionales.
Relación entre los polígonos semejantes
Polígonos semejantes
La razón de los perímetros de dos polígonos semejantes es igual a la razón de semejanza.
Consideramos los polígonos semejantes
ABCD y A’B’C’D’.
Sea r la razón de semejanza.
Entonces:
Esta relación es cierta para cualquier par de segmentos homólogos que se tomen sobre los polígonos semejantes.
Por ejemplo, las diagonales de un cuadrado son semejantes y tienen la misma razón de semejantes que la de los cuadrados.