Definición
En matemática, la parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.
La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la gravedad.
Fundamentos
Parábola (matemáticas), una de las cónicas. Se trata de una curva plana, abierta, que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo ? mediante un plano P que no pasa por el vértice y que corta a e bajo el mismo ángulo ?.
La parábola se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.
Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos:
• Eje, e.
• Vértice, V.
• Distancia de F a d, p.
La parábola no tiene asíntotas. Su excentricidad es, siempre, 1. Es decir, todas las parábolas tienen excentricidad 1.
Si un rayo es paralelo al eje de la parábola, se refleja en ésta pasando por su foco. Y, viceversa, si pasa por su foco, se refleja en la parábola y se aleja paralelo al eje.
Esta propiedad se utiliza, por ejemplo, para fabricar los faros de forma parabólica de los automóviles (el punto luminoso está en el foco y, por tanto, el haz de rayos es paralelo al eje) y las antenas para captar emisiones (dirigidas hacia el lugar de donde proviene la emisión, concentra en el foco todos los rayos que recibe). Parábolas son también las trayectorias de cualquier cuerpo (bola, pelota, chorro de agua…) que cae atraído por la tierra.
Expresión analítica de la parábola
Si se hace coincidir el eje X con el eje de la parábola y el eje Y pasa por su vértice, entonces la ecuación de la parábola es:
Las curvas de ecuación
también son parábolas. Su eje es paralelo al eje Y, y su vértice se encuentra en el punto de abscisa -b/2a.
Semejanza de todas las parábolas
Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la única sección cónica que tiene excentricidad e = 1. La unicidad se refiere a que todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala.
Desafortunadamente, al estudiar analíticamente las parábolas (basándose en ecuaciones), se suele afirmar erróneamente que los parámetros de la ecuación cambian la forma de la parábola, haciéndola más ancha o estrecha. La verdad es que todas las parábolas tienen la misma forma, pero la escala (zoom) crea la ilusión de que hay parábolas de formas diferentes.
Un argumento geométrico informal es que al ser la directriz una recta infinita, al tomar cualquier punto y efectuar la construcción descrita arriba, se obtiene siempre la misma curva, salvo su escala, que depende de la distancia del punto a la directriz.