Introducción
El sistema binario desempeña un importante papel en la tecnología de los ordenadores. Los primeros 20 números en el sistema en base 2 son 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001, 10010, 10011 y 10100. Cualquier número se puede representar en el sistema binario, como suma de varias potencias de dos.
Las operaciones aritméticas con números en base 2 son muy sencillas. Las reglas básicas son: 1 + 1 = 10 y 1 × 1 = 1. El cero cumple las mismas propiedades que en el sistema decimal: 1 × 0 = 0 y 1 + 0 = 1.
Puesto que sólo se necesitan dos dígitos (o bits), el sistema binario se utiliza en los ordenadores o computadoras. Un número binario cualquiera se puede representar, por ejemplo, con las distintas posiciones de una serie de interruptores.
La posición ‘encendido’ corresponde al 1, y ‘apagado’ al 0. Además de interruptores, también se pueden utilizar puntos imantados en una cinta magnética o disco: un punto imantado representa al dígito 1, y la ausencia de un punto imantado es el dígito 0.
Los biestables —dispositivos electrónicos con sólo dos posibles valores de voltaje a la salida y que pueden saltar de un estado al otro mediante una señal externa— también se pueden utilizar para representar números binarios.
Los circuitos lógicos realizan operaciones con números en base 2. La conversión de números decimales a binarios para hacer cálculos, y de números binarios a decimales para su presentación, se realizan electrónicamente.
Propiedad asociativa
Sea A un conjunto no vacío y * una operación binaria en A. Se dice que * es asociativa si, solo si: (a*b)*c = a*(b*c).
Ejemplos:
La adición y la multiplicación con números pares son asociativas
La sustracción en el conjunto Z de los enteros no es asociativa
La adición en el conjunto Z[i] es asociativa, el producto vectorial de vectores en el espacio R3 no es asociativo; esto es: (uxv)xw ? ux(vxw), donde u,v y w son vectores y x indica el producto vectorial
Si en en el conjunto R de los reales definimos a*b = ab +a+b +1, * es asociativo en R. (?)
Conmutatividad
Se dice que una operación * en A es asociativa en A si y solo si a*b = b*b, para a y b cualesquiera elementos de A.
Ejemplos:
La adición en los conjuntos N, Z, Q, R, C (1)de los naturales,enteros, racionales, reales y complejos es conmutativa y se cumple que a+b = b+a, siendo a y b elementos de mismo cualquier conjunto indicado
La multiplicación es asociativa en cualquiera de los conjuntos (1)
La división en Q*, racionales sin el cero, no es conmutativa; pues a:b? b:a, salvo para 1 y -1
El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo, AxB? BxA
Distributividad
Esta propiedad vincula una operación en un conjunto con otra operación en el mismo conjunto. En los sistemas numéricos como en el caso (N,+,.9 conecta la multiplicación con la adición como no todas las operaciones no son conmutativas se piefere considerar tanto por el lado izquierdo cuanto por el lado derecho, como en el caso de las matrices.
Simplificación
Sea A con la operación * si a*b =a*c implca que b0c, se dice que se ha simplificado a por la izquierda. Y si de b*a =c*a de deduce b=a se dice que se ha simplificado por la derecha. Si se puede simplificar por ambos lados se haba de simplificación o cancelación. llanamente.
En el caso de la suma de números ( de cualquier naturaleza) a+ b= a + c , cancelando a, resulta b=c
En el caso de los grupos es importante el orden. No todo grupo es conmutativo, para el caso, los
los grupos simétricos.
Elemento identidad
Si se tiene el conjunto S provisto de una operación binaria * , diremos que el elemento e (del alemán einheit), es el elemento identidad por la derecha si a*e = a, para todo a de S.
Se demuestra que si hay otro elemento identidad por la izquierda e’, tal que e’*a = a, e = e’; hecho que se conoce como unicidad del elemento identidad.
Ejemplo:
En los sistemas aditivos Z, Q, R de los enteros, racionales y reales el 0 cero es el elemento identidad aditivo.Esto es a+0= 0+ a =a
En los mismos sistemas, pero con la multiplicación, el 1 uno es el elemento identidad multiplicativo. a.1 = 1.a = a
En el conjunto de los racionales con la operación a*b = a+b +ab , el elemento identidad es 0
En el conjunto de las matrices cuadradas con la multiplicación, la matriz identidad tiene unos en la diagonal principal y los demás elementos son cero
En la composición de funciones de variable real, el lento identidad es la función I(x) = x para todo x