Definición
La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es: “La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.” Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.
Fundamentos
Elipse, una de las cónicas. Se trata de una curva cerrada que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo ? mediante un plano, P, que no pasa por el vértice y que corta a e bajo un ángulo ? mayor que ?, pero menor de 90º (? < ? < 90º).
Si ? es próximo a cero se obtiene una elipse poco excéntrica. Si ? es próximo a uno se obtiene una elipse muy excéntrica.
La elipse puede definirse como lugar geométrico del siguiente modo: dados dos puntos fijos, F y F’, llamados focos, y un número fijo k, , la elipse es el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cuya suma de distancias a F y F’ es igual a k:
Esta forma de definir una elipse permite dibujarla mediante el llamado “método del jardinero”: se colocan dos alfileres en la posición de los focos y se ata a ambos un hilo cuya longitud sea igual a k. Con un lápiz situado de modo que mantenga tenso el hilo, se recorre la elipse.
Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:
• Centro, O.
• Eje mayor, AA´.
• Eje menor, BB´.
• Distancia focal, OF.
Algunas distancias características de la elipse se suelen designar con las letras siguientes:
• . El eje mayor mide 2a.
• . El eje menor mide 2b.
• . La distancia entre focos es 2c.
Por ser rectángulo el triángulo OBF, se cumple la siguiente relación:
a2 = b2 + c2
La excentricidad de una elipse se obtiene así:
e = c/a
Puesto que c < a se verifica que 0 < e < 1, es decir, la excentricidad de una elipse es un número comprendido entre 0 y 1.
Las órbitas de todos los planetas son elipses, uno de cuyos focos es el Sol. Las más excéntricas son la de Plutón, e = 0,25 , y la Mercurio, e = 0,21. Los restantes planetas tienen órbitas con excentricidades inferiores a 0,1 , es decir, casi circulares.
Propiedades
Si desde un punto P de la elipse se trazan los segmentos PF y PF’, la bisectriz exterior del ángulo que forman estos segmentos es tangente a la elipse.
Otra propiedad de la elipse, consecuencia de la anterior, es que un rayo que pasa por uno de los focos de la elipse, al reflejarse en ésta, pasa por el otro foco.
Ecuación reducida de la elipse
Si se sitúan los ejes ordenados del siguiente modo: el eje X coincidiendo con el eje mayor de la elipse y el eje Y coincidiendo con el eje menor, la ecuación de la elipse adopta la forma siguiente:
que se llama ecuación reducida de la elipse.