Una solución calculada puede ser numéricamente mala aunque el procedimiento algebraico parezca correcto.
La eliminación gaussiana transforma un sistema lineal hasta volverlo sencillo de resolver. Cuando se ejecuta en computadora, también importa cómo se eligen los pivotes y cómo se verifica el resultado mediante el residual. Esta lección introduce ambas ideas sin asumir un curso previo de análisis numérico.
📷 Antes de comenzar
¿Cuál es la finalidad principal de la fase de eliminación en el método gaussiano?
Objetivo didáctico
Al terminar esta lección podrás aplicar eliminación gaussiana con sustitución hacia atrás, calcular un vector residual y utilizar pivotaje parcial escalado para resolver y verificar un sistema lineal derivado de tu propio caso.
Introducción
Una matriz de E5 puede convertirse en un sistema lineal cuando sus entradas actúan como coeficientes de cantidades desconocidas. Resolver el sistema significa encontrar valores que satisfagan simultáneamente todas las ecuaciones.
La eliminación gaussiana automatiza una idea conocida: combinar ecuaciones sin cambiar el conjunto de soluciones hasta obtener una forma más fácil de resolver. En papel trabajaremos con sistemas pequeños; la atención estará en el procedimiento, no en el volumen de aritmética.
En cómputo aparece una dificultad adicional. Los números suelen almacenarse con precisión finita, y operaciones aparentemente equivalentes pueden acumular errores diferentes. Por eso introduciremos dos herramientas sencillas: el residual, para verificar una solución calculada, y el pivotaje, para reducir decisiones numéricamente inconvenientes.
Desarrollo del tema
De un sistema de ecuaciones a una matriz aumentada
Un sistema lineal puede escribirse de forma compacta como Ax=b, donde A contiene los coeficientes, x las incógnitas y b los términos independientes. La matriz aumentada coloca A y b en una misma tabla para aplicar operaciones de fila.
Las operaciones elementales que conservan el conjunto de soluciones son: intercambiar dos filas, multiplicar una fila por un escalar no nulo y sumar a una fila un múltiplo de otra. La eliminación gaussiana usa principalmente la tercera operación para crear ceros bajo los pivotes.
Antes de calcular, comprueba que cada fila corresponde a una ecuación y cada columna a la misma incógnita en todo el sistema. Un error de orden al construir la matriz puede producir una respuesta numéricamente consistente para un problema distinto.
Resolver automáticamente un sistema no elimina esta responsabilidad. El algoritmo opera con la representación que recibe; si esa representación no corresponde al caso, la computadora no puede corregir el significado por ti.
💡 Matriz aumentada
Representación que reúne los coeficientes del sistema y el vector de términos independientes para aplicar operaciones de fila de forma ordenada.
Aplica: toma dos o tres ecuaciones sencillas derivadas de tu matriz de E5 y escribe la matriz aumentada. Verifica columna por columna qué incógnita representa antes de hacer operaciones.
Eliminación gaussiana ingenua y sustitución hacia atrás
La eliminación empieza seleccionando un pivote en la primera columna activa. Con ese pivote se calculan factores que permiten restar múltiplos de la fila pivote a las filas inferiores y producir ceros debajo de él.
El proceso se repite en la submatriz restante hasta obtener una matriz triangular superior. En ese punto la última ecuación contiene una sola incógnita; se resuelve y se sustituye su valor en la ecuación anterior. Este proceso se llama sustitución hacia atrás.
La versión ingenua usa el pivote disponible sin reorganizar las filas. Algebraicamente funciona en muchos casos exactos, pero puede fallar si el pivote es cero y puede comportarse mal con aritmética finita si el pivote es muy pequeño.
En esta primera aproximación, separa mentalmente dos tareas: la eliminación construye la forma triangular; la sustitución hacia atrás recupera las incógnitas. Confundirlas vuelve difícil detectar en qué paso aparece un error.
✍ Completar espacios
Banco de palabras: pivote · triangular · residual · sustitución hacia atrás · factor.
Prueba tú: realiza una sola etapa de eliminación en un sistema de 3 por 3. Escribe el pivote, cada factor y la operación de fila. Detente antes de resolver todo y verifica que las entradas bajo el pivote quedaron en cero.
Vector de error y vector residual
Si conocieras la solución exacta x y una aproximación calculada x̂, el vector de error sería la diferencia entre ambas. En problemas reales, sin embargo, normalmente no conoces la solución exacta; por eso el error verdadero no está disponible para usarlo como verificación directa.
El vector residual se calcula sustituyendo la solución aproximada en el sistema: r=b−Ax̂. Si el residual es pequeño, la aproximación satisface bien las ecuaciones originales. Este cálculo es accesible porque usa A, b y la solución que ya obtuviste.
Un residual pequeño y un error pequeño no son conceptos idénticos. La relación entre ambos depende de propiedades del sistema, tema que corresponde a cursos posteriores. Aquí utilizarás el residual como comprobación práctica de que no cometiste un error evidente en la eliminación o en la sustitución.
La verificación debe volver siempre al sistema original. Comprobar únicamente la matriz triangular transformada puede dejar pasar un error introducido durante la transcripción o una operación anterior.
🔀 Escenario ramificado
Decide: después de obtener una solución, calcula Ax̂ y compárala con b. Si una componente del residual es claramente mayor que las demás, vuelve a la ecuación correspondiente y rastrea qué operación pudo introducir la discrepancia.
Pivotaje parcial escalado
El pivotaje parcial intercambia filas para seleccionar un pivote de mayor magnitud entre los candidatos de la columna activa. Esta estrategia evita dividir por cero cuando existe otro candidato y suele mejorar la estabilidad numérica frente a la eliminación ingenua.
El pivotaje parcial escalado incorpora el tamaño típico de cada fila. Para cada fila se considera una escala basada en su coeficiente de mayor magnitud y se compara el candidato a pivote de forma relativa a esa escala. Así una entrada grande en términos absolutos puede dejar de ser la mejor si es pequeña frente al resto de su fila.
El procedimiento no cambia el significado de las ecuaciones: intercambiar filas solo cambia su orden. Lo que cambia es la ruta numérica seguida por el algoritmo. Esta distinción es importante en ingeniería, donde dos procedimientos algebraicamente equivalentes pueden tener comportamientos numéricos diferentes.
Fuentes clásicas de álgebra lineal numérica, como Golub y Van Loan y Trefethen y Bau, presentan la eliminación y el pivotaje como herramientas centrales para resolver sistemas en computadora; trabajos especializados analizan variantes escaladas del pivotaje.
Figura 1. Flujo de resolución: transformar, resolver y volver al sistema original mediante el residual.
📷 Control de comprensión
Después de calcular una solución aproximada x̂, ¿qué acción verifica directamente qué tan bien satisface el sistema original Ax=b?
Aplica: resuelve un sistema pequeño dos veces si es posible: una con el orden original y otra intercambiando filas para elegir un pivote más conveniente. Compara los residuales y explica qué cambió en la ruta de cálculo.
Conclusión
La eliminación gaussiana transforma un sistema a forma triangular mediante operaciones de fila y recupera la solución por sustitución hacia atrás. En computadora no basta con obtener números: conviene verificar la solución mediante el residual y cuidar la elección de pivotes. El pivotaje parcial escalado introduce una comparación relativa para evitar decisiones engañosas por diferencias de escala entre filas.
La siguiente lección añadirá restricciones y una función objetivo. En lugar de buscar cualquier solución que satisfaga ecuaciones, formularás un problema donde debas elegir la mejor solución factible mediante programación lineal y el algoritmo Simplex.
🔭 Para seguir aprendiendo
- ¿Qué cantidad de tu caso te interesaría maximizar o minimizar y qué restricciones lineales limitan esa decisión?
Actividad de aprendizaje autónoma
Etapa 6 · Resuelve y verifica un sistema derivado de tu modelo. Retoma la matriz construida en E5 y selecciona variables y relaciones que puedan expresarse como un sistema lineal pequeño. El sistema debe proceder de tu caso, no de un ejemplo independiente.
- De dónde vienes. Explica qué filas, columnas o relaciones de E5 originan las ecuaciones y revisa una decisión previa de representación.
- Construye el sistema. Define las incógnitas, escribe las ecuaciones y forma la matriz aumentada manteniendo el mismo orden de variables.
- Aplica eliminación gaussiana. Registra pivotes, factores, operaciones de fila y sustitución hacia atrás.
- Aplica pivotaje. Cuando sea pertinente, compara candidatos y utiliza pivotaje parcial escalado; explica por qué intercambias o conservas filas.
- Verifica. Calcula el vector residual con la solución obtenida e interpreta su significado en el caso.
- Qué decides. Justifica la estrategia de pivotaje y cualquier ajuste hecho al modelo de E5.
- Qué documentas. Registra fuentes y cualquier consulta a inteligencia artificial, detallando qué resultado verificaste de forma independiente.
🗂 Planifica tu etapa
✔ Evidencia de logro
- Trazabilidad desde la matriz de E5 hasta las ecuaciones del sistema.
- Matriz aumentada correctamente construida.
- Eliminación y sustitución hacia atrás documentadas paso a paso.
- Decisión de pivotaje justificada cuando corresponda.
- Vector residual calculado e interpretado.
- Revisión argumentada de E5 y registro de fuentes/contraste.
Si dos algoritmos producen soluciones muy parecidas, ¿qué evidencia usarías para decidir cuál de las dos satisface mejor el sistema que realmente querías resolver?
Referencias bibliográficas
- Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix computations (4th ed.). Johns Hopkins University Press.
- Peña, J. M. (2003). Scaled pivots and scaled partial pivoting strategies. SIAM Journal on Numerical Analysis, 41(3), 1022–1031.
- Trefethen, L. N., & Bau, D. (2022). Numerical linear algebra (25th anniversary ed.). Society for Industrial and Applied Mathematics.