Introducción
En el sistema en base 10, los enteros se representan mediante cifras cada una de las cuales representa potencias de 10. Tomemos el número 1.534 como ejemplo.Cada cifra de este número tiene su propio valor según el lugar que ocupa; estos valores son potencias de 10 crecientes hacia la izquierda. El valor de la primera cifra es en unidades (aquí 4 × 1); el de la segunda es 10 (aquí 3 × 10, o 30).
El valor del tercer lugar es 10 × 10, o 100 (aquí 5 × 100, o 500), y el valor del cuarto lugar es 10 × 10 × 10, o 1.000 (aquí 1 × 1.000, o 1.000).
Aritmética
La aritmética (del lat. arithmet?cus, y este del gr. ???????????, ??????? = número) es la rama de la matemática cuyo objeto de estudio son los números y las operaciones elementales hechas con ellos: suma, resta, multiplicación y división.
Al igual que en otras áreas de la matemática, como el álgebra o la geometría, el sentido de «la aritmética» ha ido evolucionando con el progresivo desarrollo de las ciencias. Originalmente, la aritmética se desarrolla de manera formal en la Antigua Grecia, con el refinamiento del rigor matemático y las demostraciones, y su extensión a las distintas disciplinas de las «ciencias naturales».
En la actualidad, puede referirse a la aritmética elemental, enfocada a la enseñanza matemática básica; también al conjunto que reúne el cálculo aritmético y las operaciones matemáticas, específicamente, las cuatro operaciones básicas aplicadas ya sea a números (naturales, fracciones, etc.) como a entidades matemáticas más abstractas (matrices, operadores, etc); también a la así llamada alta aritmética,3 mejor conocida como teoría de números.
Definiciones fundamentales
Adición
La operación aritmética de la adición (suma) se indica con el signo más (+) y es una manera de contar utilizando incrementos mayores que 1. Por ejemplo, cuatro manzanas y cinco manzanas se pueden sumar poniéndolas juntas y contándolas a continuación de una en una hasta llegar a 9. La adición, sin embargo, hace posible calcular sumas más fácilmente. Las sumas más sencillas deben aprenderse de memoria. En aritmética, es posible sumar largas listas de números con más de una cifra si se aplican ciertas reglas que simplifican bastante la operación.
Sustracción
Cuando nos referimos a una sustracción o resta, hacemos referencia al acto de quitar o separar elementos de un conjunto, obteniendo así una cantidad menor a la que inicialmente teníamos.
Analizando los casos más conocidos que hacen referencia a dichas situaciones, tenemos:
Situaciones de separar: “Si tenemos 20 bolitas, 8 son azules y el resto son rojas ¿Cuántas bolitas rojas hay?” Situaciones de quitar: “Vinieron 30 personas a mi cumpleaños y quedan 9 ¿Cuántas se fueron?” Situaciones de retroceder: “Me encontraba en la quinta posición del ranking y ahora estoy en la décima ¿Cuántos puestos retrocedí?”
Partes de la sustracción
Minuendo, sustraendo y resta y/o diferencia
Números negativos
El cálculo de la sustracción aritmética no es difícil siempre que el sustraendo sea menor que el minuendo.
La idea de los números negativos se comprende más fácilmente si primero se toman los números más familiares de la aritmética, los enteros positivos, y se colocan en una línea recta en orden creciente hacia el sentido positivo. Los números negativos se representan de la misma manera empezando desde 0 y creciendo en sentido contrario.
Multiplicación
La multiplicación es una operación matemática, de aritmética elemental, que consiste en sumar varias veces un mismo número.
La expresión 3 × 4 significa que 3 se ha de sumar consigo mismo 4 veces, o también que 4 se ha de sumar consigo mismo 3 veces.
División
La operación aritmética de la división es la operación recíproca o inversa de la multiplicación. Usando como ejemplo 12 dividido entre 4, la división se indica con el signo de dividir (12:4), una línea horizontal (?) o una raya inclinada (12/4).
La división es la operación aritmética usada para determinar el número de veces que un número dado contiene a otro. Por ejemplo, 12 contiene a 4 tres veces; por eso 12 dividido entre 4 es 3, o ? es 3.
Teoría de los divisores
Antes de pasar a las fracciones, se deben mencionar algunos detalles sobre otras clases de números. Un número primo es cualquier entero positivo mayor que 1 y que sólo es divisible por sí mismo y por 1. Algunos ejemplos de números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… El único número primo par es el 2. Los enteros que no son primos se denominan compuestos, y todos se pueden expresar como producto de números primos.
Teorema fundamental de la aritmética
“Todo entero mayor que 1 y que no sea un número primo es igual al producto de un y sólo un conjunto de números primos”. Este teorema fue demostrado por primera vez por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss.
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor número que puede ser dividido exactamente por todos y cada uno de ellos. El m.c.m. contiene todos los factores primos que aparecen en cada uno de los números dados.
Máximo común divisor
El mayor divisor común a un conjunto dado de números es su máximo común divisor (M.C.D.).
Fracciones
Los números que representan partes de un todo se denominan números racionales, fracciones o quebrados. En general, las fracciones se pueden expresar como el cociente de dos números enteros a y b: a(numerador) / b (denominador).
Una fracción está en su forma reducida o canónica si el numerador y el denominador no tienen un factor común.
Existen dos tipos de fracciones, propias e impropias. Una fracción propia es aquella en la que el numerador es menor que el denominador. Una fracción impropia es aquella en que el numerador es mayor que el denominador.
Decimales
El concepto de valores posicionales se puede extender para incluir a las fracciones. En vez de escribir ?, o dos décimos, se puede utilizar una coma decimal (,) de manera que 0,2 representa también a la fracción. Del mismo modo que las cifras a la izquierda de la coma representan las unidades, decenas, centenas…, aquéllas a la derecha de la coma representan los lugares de las décimas (s), centésimas (t), milésimas (1/1.000) y así sucesivamente.
Estos valores posicionales siguen siendo potencias de 10, que se escriben como 10-1, 10-2, 10-3… En general, un número como 5.428,632 se denomina quebrado o fracción decimal, y 0,632 representa