Historia
En 1847 un matemático inglés autodidacta llamado George Boole (1815 – 1864), desarrolla unos símbolos matemáticos con unas reglas que pueden ser aplicadas en problemas de lógica deductiva. Hacia el año 1854, publicó un libro en el que explicaba cómo convertir las proposiciones lógicas en símbolos matemáticos y cómo aplicar ciertas reglas muy simples para determinar la verdad o falsedad de proposiciones relacionadas entre sí.
Definición de álgebra de boole
Un conjunto cualquiera A en el que se han definido dos operaciones binarias que llamaremos suma lógica ( + ) y un producto lógico ( ? ), una operación unitaria que llamaremos complemento ( ? ), se dice que es un Álgebra de Boole si se cumplen las siguientes propiedades axiomáticas:
A1. Conmutativa: para todo a y b que son elementos del conjunto A; la suma de a + b es igual que b + a de la misma manera que el producto de a • b es igual a b • a.
? a, b ? A, a + b = b + a y a • b = b • a
A2. Identidad: Los elementos neutros de ( + ) y ( ? ) son, respectivamente, el elemento cero (0) y el elemento (1).
? a ? A, a + 0 = a y a • 1 = a
A3. Distributiva:
? a, b, c ? A, a + (b • c) = (a + b) • (a + c) y a • (b + c) = (a • b) + (a • c)
A4. Complementario:
? a ? A, a + ?a = 1 y a • ?a = 0
Teoremas
Teorema 1: Dualidad
Se puede pasar de una propiedad a otra análoga (dual) intercambiando entre sí las operaciones ( + ) y ( ? ).
Así por ejemplo, la dual de a + 0 = a es a ? 1 = a
Esto es lógico, pues si hemos demostrado una propiedad, la dual se puede demostrar haciendo los pasos duales de la citada demostración.
Relación entre álgebra de conjuntos, álgebra de proposiciones y álgebra de Boole