Introducción
La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística. Además, existen aquellos sucesos que están directamente influidos por el azar, es decir, por procesos que no se está seguro de lo que va a ocurrir. Sin embargo, la probabilidad nos permite acercarnos a esos sucesos y estudiarlos, ponderando las posibilidades de su ocurrencia y proporcionando métodos para tales ponderaciones.
Análisis combinatorio
En ocasiones el trabajo de enumerar los posibles sucesos que ocurren en una situación dada se convierte en algo difícil de lograr o, simplemente, tedioso. El análisis combinatorio, o cálculo combinatorio, permite enumerar tales casos o sucesos y así obtener la probabilidad de eventos más complejos.
En el caso de que existan más de un suceso a observar, habría que contar el número de veces que pueden ocurrir todos los sucesos que se desean observar, para ello se utiliza el principio fundamental de conteo:
Si un suceso se puede presentar de n1 formas, y otro se puede presentar de n2 formas, entonces el número de formas en que ambos sucesos pueden presentarse en ese orden es de n1·n2.
Este principio nos remite automáticamente al factorial de un número natural, que se puede pensar como una función con dominio los números naturales junto con el cero y codominio los números naturales. El factorial de un número n, denotado n!, se define como:
Permutaciones (u ordenaciones) con repetición
Las permutaciones son también conocidas como ordenaciones, y de hecho toman este nombre porque son ordenaciones de r objetos de n dados.
Por ejemplo: Sea A={a,b,c,d}, ¿cuántas “palabras” de dos letras se pueden obtener?
Se pide formar permutaciones u ordenaciones de 2 letras, cuando el total de letras es 4. En este caso r=2 y n=4.
Las “palabras” formadas son: aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd. En total son 16.
Permutaciones (u ordenaciones) sin repetición
En este caso, a diferencia del anterior, se realizan ordenaciones de r objetos de n dados atendiendo a la situación de cada objeto en la ordenación. Su representación será Pnr ó nPr.
Por ejemplo: Sea el mismo conjunto A={a,b,c,d}, ¿cuántas ordenaciones sin repetición se pueden obtener?
Lo que resulta es: ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc. Son 12 en total.
En general, si se toman r objetos de un total de n, la cantidad de permutaciones
Eventos
Si existen más de una variable, el espacio muestral está formado por las combinaciones de valores de cada una de las variables.
Si tomamos un subconjunto cualquiera del espacio muestral tenemos lo que se denomina un evento, y si éste consta de un solo elemento entonces es un evento elemental.
Como se puede uno imaginar, existen eventos que siempre, no importa el número de experimentos o su situación, ocurren, y en cambio existen otros que nunca ocurren. Los que siempre ocurren son los eventos seguros, y los que nunca son los eventos imposibles.
Sin embargo, no todos los resultados son al azar, pues si un experimento es cualquier proceso entonces los resultados pueden tomar cualquier tipo de valor. Por esta razón, se define como experimento aleatorio al proceso en el que se pueden predecir con certeza la ocurrencia de sus eventos, con excepción del seguro o del imposible. Hay que hacer la observación que esta definición habla en términos generales y no específicamente sobre algún experimento en particular.
A aquélla variable que está asociada a un experimento de este tipo se le denomina variable aleatoria. En cambio, a un experimento no aleatorio se le denomina experimento determinístico. Cuando hablamos de varios eventos dentro del mismo experimento se pueden dar varios casos.
Si dos o más eventos no pueden ocurrir simultáneamente, se llaman eventos mutuamente excluyentes, es decir, que la intersección de ambos eventos es vacía.
Por otro lado, en ocasiones un evento o más eventos dependen de otro evento previo, es decir, un evento A ocurre dado que ocurrió un evento B. Si existe este tipo de relación entre eventos se dice que son eventos dependientes o condicionados (el evento A depende del evento B, o el resultado del evento A está condicionado al resultado del evento B). Por otro lado, si no existe tal relación entre eventos se dice que son eventos independientes. Los criterios de dependencia o de independencia se definirán más adelante, en términos de probabilidad condicional.
Probabilidad de eventos
Para calcular la probabilidad de eventos es necesario que éstos se comporten de una manera más o menos estable. Precisamente, se echa mano de la regularidad estadística, que es la propiedad de los fenómenos aleatorios, y que consiste en que al aumentar el número de repeticiones de un experimento en condiciones prácticamente constantes, la frecuencia relativa de ocurrencia para cada evento tiende a un valor fijo.
Sin embargo, al momento de definir la probabilidad de un evento podemos tomar en cuenta los siguientes criterios:
La probabilidad subjetiva de un evento se la asigna la persona que hace el estudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el tema.
La probabilidad frecuencial de un evento es el valor fijo al que tienden las frecuencias relativas de ocurrencia del evento de acuerdo a la regularidad estadística.
La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se define como el número de eventos elementales que componen al evento E, entre el número de eventos elementales que componen el espacio muestral:
Axiomas de la probabilidad
Recordemos primero que las frecuencias relativas de una distribución tenían las siguientes propiedades:
Las frecuencias relativas son mayores o iguales que cero.
La frecuencia relativa del espacio muestral es igual a la unidad.
Si dos eventos son mutuamente excluyentes, es decir que no ocurren simultáneamente, entonces la frecuencia relativa de su unión es la suma de las frecuencias relativas de cada uno.
Tomando en cuenta que la probabilidad de un evento, de acuerdo a la definición ya expuesta, es la frecuencia relativa cuando se aumenta el tamaño de la muestra, se tienen lo siguiente.
Si E es un evento de un espacio muestral S y P(E) es la probabilidad de E, entonces se satisfacen los axiomas de la probabilidad:
1. 0 £ P(E) £ 1.
2. P(S) = 1.
3. Si E1, E2, … , En son eventos mutuamente excluyentes, entonces
Con estos axiomas podremos tratar algunas de las propiedades de la probabilidad de eventos.