Introducción
El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima. Se supone que los lugares fuera del triángulo contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están formados por unos. Aquí sólo se ve una parte; el triángulo continúa por debajo y es infinito.
Historia
El Triángulo de Pascal o Tartaglia tiene un origen, como en muchos otros casos, muy anterior al de estos dos matemáticos . Se tienen referencias que datan del siglo XII en China. De hecho, algunas de sus propiedades ya fueron estudiadas por el matemático chino Yang Hui (siglo XIII), así como el poeta persa Omar Khayyam (siglo XII).
El matemático y teólogo francés del siglo XVII Blaise Pascal estudió los coeficientes binómicos en relación con la teoría de la probabilidad y los juegos de azar; por ejemplo, si se lanza al aire una moneda n veces, el número de formas de obtener k caras (o cruces) es (À) por lo que la probabilidad de conseguirlo depende de ese número. Sin embargo, Pascal no fue el primero en descubrir esa distribución de números.
Ya apareció en 1527 en la portada del Rechnung, un libro de aritmética del matemático y astrónomo alemán Peter Apian (1495-1552), y el matemático chino Chu Shih-Chieh lo mencionó en 1303 en su libro El espejo precioso como “el antiguo método”. Probablemente, el triángulo se remonta hacia el año 1100, cuando el poeta y matemático persa Omar Jayyam parece referirse a él en su Álgebra.
Triángulo de pascal y números combinatorios
Triángulo de Pascal, también conocido como triángulo de Tartaglia, distribución de números obtenida al expandir potencias sucesivas de (x + y) —esto es (x + y)1, (x + y)2…—, que proporciona los coeficientes correspondientes de estos desarrollos.
Al tener un número infinito de filas y sólo dos lados, no es realmente un triángulo. Las filas se numeran n = 1, 2…, de arriba abajo; los números de la fila n son los coeficientes de los términos en el desarrollo de (x + y)n. Estos coeficientes se denominan coeficientes binómicos,
(leído “n sobre k”). Por n! (factorial de n) se entiende el producto n × (n – 1) × (n – 2) × … × 2 × 1 para n ? 1. Por ejemplo, el coeficiente de x2y2 en el desarrollo de (x + y)4 es
La expresión (À) también proporciona el número de combinaciones diferentes de k objetos tomados de un conjunto de n objetos, por lo que también se denomina número combinatorio.
Cada número del triángulo de Pascal (aparte de los unos de los lados) es la suma de las dos entradas situadas encima; esto permite construir filas adicionales del triángulo. El triángulo de Pascal presenta muchas otras relaciones numéricas interesantes. Una de ellas es que la suma de todos los números de la fila n es 2n. Por ejemplo, la suma de los números de la fila 4 es 24 = 16. Además, si sustituimos los términos pares e impares del triángulo de Pascal por ceros y unos respectivamente, obtenemos la siguiente figura que se reproduce indefinidamente:
El número combinatorio Cm n (n sobre m) que representa el número de grupos de m elementos que pueden hacerse de entre un conjunto de n (por ejemplo, (4 sobre 2) nos da el número de parejas distintas que podrían hacerse en un grupo de cuatro personas), se encuentra en el triángulo en la fila n+1, en el lugar m+1.
Triángulo de pascal y binomio de Newton
La fórmula general del llamado Binomio de Newton (a + b)n está formada por unos coeficientes que coinciden con la línea número n+1 del triángulo de Pascal (la que empieza por 1 y n).
La fórmula es:
Una forma de evitar tener que calcular uno a uno todos los coeficientes es utilizar el Triángulo de Pascal, ya que los coeficientes de la potencia n aparecen en la fila n+1 de dicho triángulo.
Un ejemplo: aplicando la fórmula y la definición de número combinatorio tendríamos:
(a + b)3 = 1·a3 + 3·a2b + 3·ab2 + 1·b3.
Pero hubiese sido más rápido ir a la fila 4 (3 + 1 ) del triángulo y ver que los números que aparecen son, precisamente, los coeficientes 1, 3, 3 y 1.