Introducción
La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828…. Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
Tradicionalmente, el estudio de los logaritmos ha ido inevitablemente acompañado de las tablas logarítmicas y del estudio de conceptos tales como el de mantisa, característica, cologaritmo…
Hoy en día esto ya no es necesario. Con la creciente utilización de las calculadoras en todos los niveles, el cálculo logarítmico se ha simplificado enormemente.
Ejemplos de funciones exponenciales
1. La función y = 2x es una función exponencial de base 2. Algunos de los valores que toma esta función, f:R ® R
f(-3) = 2-³ = 1/2³ = 1/8
f(-1/2) = 2-1/2 = 1/21/2 = 1/?2
f(1) = 2¹ = 2
2. La función y = 1/2x es una función exponencial de base 1/2.
Alguno de los valores que toma esta función, f: R ® R , son:
f(-4) = 2-4 = 1/24 = 1/16
f(0) = (1/2)° = 1
f(2) = (1/2) ² = 1/4
Propiedades de la función exponencial y = a x
1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a° = 1
2a. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a¹ = a
3a. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x )>0.
Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo.
4a . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.
5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente.
Representación gráfica de la función exponencial
Observando las propiedades antes descritas para una función exponencial, se han de distinguir dos casos para hacer la representación de una función y = ax:
A) a > 1
En este caso, para x = 0, y = a° = 1
para x = 1, y = a¹ = a
para cualquier x, la función es creciente y siempre positiva.
Cómo caso particular se representa la función y = 2x.
B) a < 1
Para x = 0, y = a° = 1
Para x = 1, y = a¹ = a
Para cualquier x la función es decreciente y siempre positiva.
Cómo caso particular se representa la función y = (1/2)x.
Logaritmos
En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.
De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la potenciación de la base del logaritmo.
Propiedades de los logaritmos
Logaritmo de un producto: El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos.
loga(X · Y) = loga X + loga Y
Logaritmo de un cociente: El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
log a X/Y = log a X – log a Y
Logaritmo de una potencia: El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.
loga Xn = n loga X
Logaritmo de una raíz: El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz.