Introducción
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir la posición de cualquier punto de un espacio vectorial. Existen varios tipos de sistemas de coordenadas utilizados para aplicaciones específicas, dentro de ellos se van a describir 3 sistemas usuales en el campo de la ingeniería, estos son:
Sistema de coordenadas cartesianas
Sistema de coordenadas cilíndricas
Sistema de coordenadas esféricas
Estos sistemas de coordenadas son de suma importancia ya que para resolver problemas de electrotástica, magnetostática y campos variables en el tiempo, tenemos que tener un conocimiento previo de cómo utilizarlos y cómo hacer cambios de bases vectoriales entre ellos para que la resolución de los problemas sea menos compleja.
Coordenadas cartesiana
Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares son un ejemplo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos caracterizadas por la existencia de dos ejes perpendiculares entre sí que se cortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes.
Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.
Ejemplo de sistemas de coordenadas
Un sistema de coordenadas permite “etiquetar” los puntos de una variedad diferenciable mediante un conjunto de n-tuplas. Los casos más sencillos de sistemas de coordenadas se definen sobre el espacio euclídeo o “espacio plano”, aunque también es posible construirlos sobre variedades con curvatura. Un sistema de coordenadas sobre una variedad n-dimensional se representa como un par ordenado formado por un dominio y una aplicación diferenciable a un conjunto abierto de m-n , éste último conjunto contiene los posibles valores de las coordenadas, que obviamente serán números reales.
Coordenadas cilíndricas
Son un sistema de coordenadas utilizado para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje. El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente utilizarlo en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal.
Un punto en coordenadas cilíndricas se representa por 3 variables coordenadas (?,?,z) donde:
?: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY
?: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el plano XY.
z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.
Los rangos de variación de las tres coordenadas son:
Una representación gráfica de un vector de posición en coordenadas cilíndricas se puede observar a continuación en la siguiente figura:
Coordenadas esféricas
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.
Un punto en coordenadas esféricas se representa al igual que las coordenadas cartesianas y cilíndricas por 3 variables coordenadas (r, ?, ?) donde:
r se le llama radio y es la distancia entre el punto y el origen del sistema de coordenadas cartesiano.
? (colatitud o ángulo polar ) de 0º a 180º es el ángulo entre el eje z y la línea que une el origen y el punto.
La variable ? es la misma que la del sistema de coordenadas cilíndrico de la cual ya se habló anteriormente.
Los rangos de variación de las tres coordenadas son:
Una representación gráfica de un vector de posición en coordenadas esféricas se puede observar a continuación en la siguiente figura: