Geometría euclidiana

Introducción

La geometría euclidiana (o geometría parabólica) es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia, geometría euclidiana es sinónimo de geometría plana y de geometría clásica.

Axiomas

La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático. Un sistema axiomático es aquél que, a partir de un cierto número de proposiciones que se presuponen “evidentes” (conocidas como axiomas) y mediante deducciones lógicas, genera nuevas proposiciones cuyo valor de verdad es también lógico.

Postulados

Euclides planteó cinco postulados en su sistema:

1. Dados dos puntos se puede trazar una y solo una recta que los une.
Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.
2. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
3. Todos los ángulos rectos son congruentes.
4. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a dos lado eángulos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del n el que están los ángulos menores que dos rectos.

Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como:

5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.

Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchos geómetras, incluido el propio Euclides, han intentado deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al absurdo negándolo, surgieron dos nuevas geometrías: la elíptica, también llamada geometría de Riemann o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica o de Lobachevsky (existen varias rectas paralelas que pasen por un punto exterior a una dada).

Limitaciones

Euclides asumió que todos sus postulados o axiomas eran autoevidentes y por tanto hechos que no requerían demostración. Sin embargo, resultó que el quinto postulado —si bien es compatible con los otro cuatro— en cierto modo es independiente. Es decir, tanto el quinto postulado como la negación del quinto postulado, son compatibles con los otros cuatro postulados. Las geometrías donde el quinto postulado no es válido se llaman geometrías no euclidianas.

Una limitación del trabajo de Euclides fue no reconocer la posibilidad de sistemas geométricos perfectamente consistentes donde el quinto axioma no era válido, es decir, para Euclides y los geómetras posteriores hasta el siglo XVIII pasó inadvertida la posibilidad de geometrías no euclidianas, hasta el trabajo de Nikolái Lobachevski, Gauss y Riemann.
Si bien durante el siglo XIX se consideró que las geometrías no euclidianas se consideraron un artefacto matemáticamente interesante, e incluso con cierto interés práctico pero limitado, como es el caso de la trigonometría esférica usada en astronomía. Pero en cierto modo se consideraba, que la geometría del espacio físico era euclidiana y por tanto las geometrias no euclidianas eran tan sólo un artificio abstracto interesante o útil para ciertos problemas pero en modo alguno descripciones realistas del mundo.

Sin embargo, el trabajo de Albert Einstein, hizo ver que entre las necesidades de la física moderna están las geometrías no euclidianas, para describir el espacio-tiempo curvo.