Introducción
Decimos que un número entero b es divisible entre un entero a (distinto de cero) si existe un entero c tal que: b = a · c. Se suele expresar de la forma a|b, que se lee a divide a b, o a es divisor de b, o también b es múltiplo de a. Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c.
Es decir, el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero. Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo. Los números mayores que 1 que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos.
Criterios de divisibilidad
Para saber si un número, b, es divisor de otro, a, se efectúa la división y se comprueba si es o no exacta. Sin embargo, existen ciertas propiedades que permiten saber de forma cómoda y rápida si a es divisible por b para ciertos valores de b. Se llaman criterios de divisibilidad y los más utilizados son los que permiten saber si un número escrito en el sistema de numeración habitual es divisible por 2, 3, 5 u 11.
Criterio de divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2 si lo es su cifra de las unidades, es decir, si ésta es 0, 2, 4, 6 u 8. Por ejemplo, 3.524 es divisible por 2 porque acaba en 4, mientras que 5.427 no lo es porque termina en 7.
Criterio de divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras lo es. Por ejemplo, 5.472 es divisible por 3 porque 5 + 4 + 7 + 2 = 18 es divisible por 3, mientras que 2.540 no lo es porque 2 + 5 + 4 + 0 = 11 no es divisible por 3.
Criterio de divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5 si lo es su cifra de las unidades, es decir, si ésta es 0 o 5. Por ejemplo, 740 es divisible por 5 porque acaba en 0 mientras que 3.551 no lo es porque termina en 1.
Criterio de divisibilidad por 11
Para averiguar si un número es divisible por 11 se procede del siguiente modo: se suman las cifras de lugar impar, se suman las cifras de lugar par y se restan los resultados. Si la diferencia es 0 o múltiplo de 11 entonces, y sólo entonces, el número lo es. Por ejemplo, para probar si 52.833 es múltiplo de 11, se procede así: (5 + 8 + 3) – (2 + 3) = 16 – 5 = 11 por lo que 52.833 es múltiplo de 11.
Factor propio
Se denomina factor o divisor propio de un número entero n, a otro número también entero que es divisor de n, pero diferente a n . Por ejemplo, 7 es factor propio de 42 porque 42/7 = 6.
Casos especiales: 1 y -1 son factores triviales de todos los enteros, y cada entero es divisor de 0. Los números divisibles por 2 son llamados pares y los que no lo son se llaman impares.