Qué es la teoría de conjuntos
Teoría de conjuntos, rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor dio su primer tratamiento formal en el siglo XIX. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas.
En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el de infinito.
Subconjuntos y superconjuntos
Si todo elemento de un conjunto R pertenece también al conjunto S, R es un subconjunto de S, y S es un superconjunto de R; utilizando símbolos, R Ì S, o S É R. Todo conjunto es un subconjunto y un superconjunto de sí mismo. Si R Ì S, y al menos un elemento de S no pertenece a R, se dice que R es un subconjunto propio de S, y S es un superconjunto propio de R. Si R Ì S y S É R, es decir, todo elemento de un conjunto pertenece también al otro, entonces R y S son dos conjuntos iguales, lo que se escribe R = S. En los ejemplos del apartado anterior, S1 es un subconjunto propio de S2.
Unión e intersección
Si A y B son dos subconjuntos de un conjunto S, los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos forman otro subconjunto de S llamado unión de A y B, escrito A È B. Los elementos comunes a A y B forman un subconjunto de S denominado intersección de A y B, escrito A Ç B. Si A y B no tienen ningún elemento común, su intersección no tiene ningún elemento, y siendo conveniente representar esta intersección como otro conjunto, éste se denomina conjunto vacío o nulo y se representa con el símbolo Æ. Por ejemplo, si A = {2, 4, 6}, B = {4, 6, 8, 10} y C = {10, 14, 16, 26}, entonces A È B = {2, 4, 6, 8, 10}, A È C = {2, 4, 6, 10, 14, 16, 26}, A Ç B = {4, 6} y A Ç C = Æ.
Diferencia y complementario
El conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B se denomina conjunto diferencia entre A y B, escrito A – B (y a veces AB). Así, siguiendo con el ejemplo anterior, A – B = {2}, B – A = {8, 10}. Si A es un subconjunto del conjunto l, el conjunto de los elementos que pertenecen a l pero no a A, es decir, l – A, se denomina conjunto complementario de A (con respecto a l), lo que se escribe l – A = A? (que también puede aparecer como ?, Ã o ~A).