Concepto de números naturales
Son los que sirven para contar los elementos de los conjuntos: N = {0, 1, 2, 3,…, 9, 10, 11, 12,…} Hay infinitos. Se pueden sumar y multiplicar y con ambas operaciones el resultado es, en todos los casos, un número natural. Sin embargo, no siempre pueden restarse ni dividirse (ni 3 – 7 ni 7 : 4 son números naturales).
Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a IN.
Ejemplo: 2 + 6 = 8, el 8 pertenece a IN.
5 · 3 = 15, el 15 pertenece a IN.
No ocurre lo mismo con las operaciones inversas, o sea, la sustracción y la división. Ellas no son operaciones cerradas en IN.
Ejemplo: 3 – 5 = -2, y -2 no es un elemento de IN.
1 : 4 = 0,25; y 0,25 no es un elemento de IN.
En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la adición:
Conmutatividad
a + b = b + a, con a y b pertenecientes a IN
Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 + 6 = 9, es lo mismo que 6 + 3 = 9.
Asociatividad
(a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN
Verifiquemos que (5 + 2) + 6 = 5 + (2 + 6). Resolvamos los paréntesis:
7 + 6 = 5 + 8
13 = 13
En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la multiplicación:
Conmutatividad
a · b = b · a, con a y b pertenecientes a IN
Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 · 6 = 18, es lo mismo que 6 · 3 = 18.
Asociatividad
(a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN
Verifiquemos que (5 · 2) · 6 = 5 · (2 · 6). Resolvamos los paréntesis:
10 · 6 = 5 · 12
60 = 60
Elemento Neutro
a · 1 = a, con a perteneciente a IN.
Todo elemento de IN multiplicado por 1, resulta el mismo elemento. 5 · 1 = 5; 9 · 1 = 9 …
Distributividad
a·(b + c) = a·b + a·c, con a, b y c pertenecientes a IN.
Verifiquemos que 5·(3 + 6) = 5·3 + 5·6
5·9 = 15 + 30
45 = 45