Una aplicación importante de la derivada es determinar dónde una función alcanza sus valores máximos y mínimos (extremos).
Valor máximo relativo: La función f tiene un valor máximo relativo en el número c si existe un intervalo abierto que contiene a c, en el que f está definida, tal que f(c)? f(x) para toda x en ese intervalo.
Valor mínimo relativo: La función f tiene un valor mínimo en el número c si existe un intervalo abierto que contiene a c, en el que f está definida, tal que f(c) ? f(x) para en este intervalo.
Teorema: si f (x) existe para todos los valores de x en el intervalo abierto (a, b), y si f tiene un extremo relativo en c, donde a < c < b, y además f`(c) existe, entonces f`(c) = 0.
Valor máximo absoluto en un intervalo: La función f tiene un valor máximo absoluto en un intervalo si existe algún número c en el intervalo tal que f (c) ? F(x) para toda x del intervalo. El número f(c) es el valor máximo absoluto de f en el intervalo.
Valor mínimo absoluto en un intervalo: La función f tiene un valor mínimo absoluto en un intervalo i existe algún número c en el intervalo tal que f(c) ? f(x) para toda x del intervalo. El número f(c) es el valor mínimo absoluto de f en el intervalo.
Un extremo absoluto de una función en un intervalo es un valor máximo absoluto o un valor mínimo absoluto de la función en el intervalo. Una función puede o no tener un extremo absoluto en un intervalo y una función, y se determinan los extremos absolutos de la función en el intervalo, si es que existe alguno.
Teorema del valor extremo
Si la función f e continua en el intervalo cerrado (a, b), entonces f tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en (a, b).
El teorema del valor extremo establece que la continuidad de una función en un intervalo cerrado es una condición suficiente para garantizar que la función tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en el intervalo. Sin embargo, no es una condición necesaria.
Fuente: Apuntes de matemáticas de UNIDEG.