Concepto
Radián, en matemáticas, la unidad de ángulo igual al ángulo central formado por un arco de longitud igual al radio del círculo. La medida en radianes (rad) de un ángulo se expresa como el cociente entre el arco formado por el ángulo, con su vértice en el centro de un círculo, y el radio de dicho círculo. Este cociente es constante para un ángulo fijo cualquiera que sea el círculo sobre el que se tome.
Esta unidad se utiliza primordialmente en Física, cálculo infinitesimal, trigonometría, goniometría, etc.
La medida
La medida en radianes de un ángulo y su medida en grados están relacionadas. La circunferencia de un círculo viene dada por
donde r es el radio del círculo y pi es el número 3,14159. Dado que la circunferencia de un círculo es exactamente 2 pi radios, y que un arco de longitud r tiene un ángulo central de un radián, se deduce que
2 pi radianes = 360 grados
Al dividir 360° por 2 pi se puede ver que un radián es aproximadamente 57° 17? 45??. En aplicaciones prácticas, las siguientes aproximaciones son lo suficientemente exactas:
1 radián = 57,3 grados
1 grado = 0,01745 radianes
El grado y el radián son unidades angulares de distinto tamaño y son intercambiables.
Análisis dimensional
Tabla de conversión entre grados sexagesimales y radianes
El radián es la unidad natural en la medida de los ángulos. Por ejemplo, la función seno de un ángulo x expresado en radianes cumple:
Análogamente los desarrollos Taylor de las funciones seno y coseno son:
donde x se expresa en radianes.
Aplicaciones
En ingeniería se utilizan más los grados, mientras que la medida en radianes se usa casi exclusivamente en estudios teóricos, como en el análisis matemático, debido a la mayor simplicidad de ciertos resultados, en especial para las derivadas y la expansión en series infinitas de las funciones trigonométricas.
Además el radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos, puesto que simplifica los cálculos, ya que los más comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de ?.