Definición
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es:
Donde m representa la pendiente y el valor de b determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje y).
Las ecuaciones en las que aparece el término x . y (llamado rectangular y son consideradas lineales). Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
Formas de ecuaciones lineales
Las ecuaciones lineales con dos incógnitas son de la forma
ax + by = c
con a o b no nulos. Se representan mediante rectas cuyos puntos son las soluciones de la ecuación.
Las ecuaciones lineales con tres incógnitas son de la forma
ax + by + cz = d
con a o b o c no nulos. Se representan mediante planos cuyos puntos son las soluciones de la ecuación.
Un sistema de ecuaciones es lineal si todas las ecuaciones que lo forman son lineales.
Ecuación lineal en el espacio n-dimensional
Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma
representa un plano y una función
representa una hipersuperficie plana de n-1 dimensiones en un volumen n-dimensional.
Sistemas de ecuaciones lineales
Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser real y no nulo.
Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución.