Introducción
Ecuación, igualdad en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnitas. Es decir, es una igualdad entre expresiones algebraicas. Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha.
Se llama solución de una ecuación a un valor de la incógnita, o a un conjunto de valores de las incógnitas, para los cuales se verifica la igualdad.
Tipos de ecuaciones
Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones. Las ecuaciones con varias incógnitas, sin embargo, suelen tener infinitas soluciones; por ello, estas ecuaciones interesa estudiarlas cuando forman sistemas de ecuaciones. Las ecuaciones con una incógnita pueden ser de distintos tipos: polinómicas, racionales, exponenciales, trigonométricas.
Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio en x. O bien, son de tal forma que al trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.
3×3 – 5×2 + 3x + 2 = 0 es una ecuación polinómica.
Las ecuaciones polinómicas de primer grado, ax + b = 0, se llaman ecuaciones lineales. 5x + 7 = 3 es lineal y también lo es (x – 5)2 + 3 = x2 – 1 porque al desarrollar y simplificar se obtiene -10x + 29 = 0.
Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, ax2 + bx + c = 0, se llaman cuadráticas. Son ecuaciones de este tipo: x2 – 5x + 3 = 0, (x – 2)2 + 7x =5 + x.
Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita está bajo un signo radical, como
Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen cocientes de polinomios; por ejemplo:
En las ecuaciones exponenciales la incógnita está en un exponente:
En las ecuaciones trigonométricas la incógnita está afectada por alguna función trigonométrica; por ejemplo:
Resolución de ecuaciones cuadráticas
La expresión general de una ecuación cuadrática (polinomio de segundo grado) es:
con a ? 0. Para resolverla se aplica la fórmula:
Por ejemplo, la ecuación 2×2 + 5x – 3 = 0 de coeficientes a = 2, b = 5, c = -3, se resuelve así:
Hay dos soluciones: x1 = 1/2; x2 = -3.
Resolución de ecuaciones bicuadradas
Se llama bicuadrada la ecuación de la forma:
Es decir, una ecuación polinómica de cuarto grado que no tiene términos de grado impar. Si se realiza el cambio de variable x2 = y, con lo cual x4 = y2, entonces se transforma en una ecuación de segundo grado:
Cada una de sus soluciones puede dar lugar a dos, una o ninguna solución de la ecuación inicial. Así, si y es solución de la ecuación (2), se verifica que:
Por ejemplo, la ecuación bicuadrada:
Se transforma, mediante el cambio de variable x2 = y, en la ecuación de segundo grado:
Cuyas soluciones son:
Para y1 = 4: x2 = 4
Luego, x1 =2, x2 = -2 son soluciones de la ecuación bicuadrada.
Para y2 = -3: x2 = -3
Por tanto, las únicas raíces de la ecuación x4 – x2 – 12 = 0 son x1 = 2, x2 = -2.