Teoría de números
Teoría de números, rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades y relaciones de los números. Según esta amplia definición, la teoría de números incluye gran parte de las matemáticas, en particular del análisis matemático. Sin embargo, normalmente se limita al estudio de los números enteros y, en ocasiones, a otros conjuntos de números con propiedades similares al conjunto de los enteros
Potenciación
Es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales.
En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma:
Una de las definiciones de la potenciación, por recursión, es la siguiente:
x1 = x
Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x¹ = x•x0. Al dividir los dos términos de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0), queda que x0=1.
Así que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en principio, no está definido. Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos atenemos a la idea de producto vacío o simplemente por analogía con el resto de números.
Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la inversa de la base, es decir que la potencia pasa con exponente positivo.
Potencia: La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la multiplicación de los primeros exponentes.
– Multiplicación de potencias de igual base: La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.
– División de potencias de igual base: La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.
– Propiedad distributiva: La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.
Radicación
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a.
Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese número es 14.
El número que esta dentro de la raíz se llama radicando, el grado de la raíz se llama índice del radical, el resultado se llama raíz.
Podemos considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En efecto, la raíz cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igual que a1/2, del mismo modo la raíz cúbica de a es a1/3 y en general, la raíz enésima de un numero a es a1/n.
La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raíces es convertir las raíces a potencias y operar teniendo en cuenta las propiedades dadas para la operación de potenciación.
Raíz cuadrada
Raíz (matemáticas), enésima de un número real, a, es otro número, b, cuya potencia enésima es a. Se expresa así
Raíz cuadrada, de un número a, es otro número b tal que b2 = a:
Los números reales positivos tienen dos raíces cuadradas; por ejemplo, 5 y –5 son las raíces cuadradas de 25.
La expresiónaplicada a un número real positivo representa (por convenio) a su raíz cuadrada positiva. Por tanto, para referirnos a las raíces cuadradas de 2 pondremos
La única raíz cuadrada del cero es él mismo.
Los números negativos no tienen ninguna raíz cuadrada en el campo de los números reales, pues el cuadrado de un número real es siempre positivo o cero.
La raíz cuadrada de un número cuadrado perfecto es un número natural. Se dice que la raíz es exacta. Por ejemplo, son raíces exactas
La raíz entera de un número n es el mayor número natural cuyo cuadrado es menor o igual a n. Así, la raíz cuadrada entera de 200 es 14 porque 142 = 196 < 200 mientras que el cuadrado de 15 supera a 200.
Método para hallar la raíz cuadrada entera de un número
Para hallar la raíz cuadrada entera de un número, por ejemplo 465.685, se procede como se explica a continuación.
1. Se separan grupos de dos cifras, de derecha a izquierda:
2. Se halla la raíz cuadrada entera del primer grupo (el de la izquierda) y se resta de él su cuadrado.
3. A la derecha del resto (10), se baja el grupo siguiente (56). Del número obtenido se separa la cifra de la derecha (6) y el número que queda a su izquierda (105) se divide por el doble de la parte de la raíz hallada hasta ese momento (2·6 = 12). El cociente entero de esa división (8) se escribe a la derecha del duplo de la raíz hallada (12), y el número resultante (128) se multiplica por ese mismo cociente (128·8 = 1024). El resultado se resta del bloque anterior (1056 – 1024 = 32). El cociente obtenido (8) se pone en la parte superior obteniendo una nueva raíz parcial (68).
En algunos casos, en este proceso hay que introducir una corrección. Por ejemplo, si el número fuera 461.685, el primer resto sería 1016. A partir de aquí se procedería así: el cociente entero entre 101 y 12 es 8; el producto 128·8 = 1024 es mayor que 1016 y, por tanto, la cifra obtenida (8) no es válida: hay que rebajarla en una unidad (7). Con esta corrección se seguiría así: 127·7 = 889; 1016 – 889 = 127 El valor de la raíz parcial sería 67 y el correspondiente resto 127. En este punto, se continúa el proceso.
4. Se vuelve a bajar el grupo siguiente y se procede como en el paso anterior.
La raíz entera es 682 y el resto 561.
La comprobación es sencilla: 6822 + 561 = 465.124 + 561 = 465.685.
Tipos de números
– Números naturales
Un número natural es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3… que se pueden usar para contar elementos o cosas.
– Números enteros
Los números enteros son del tipo: -59, -3, 0, 1, 5, 78, 34567, etc., es decir, LOS NATURALES Y sus opuestos (negativos).
– Números racionales
número racional es todo aquel número que puede ser expresado como resultado de la división de dos números enteros. Comunmente es a lo que se les llama numeros decimales, tanto en fracción como expresado con comas.
Cualquier numero puede representarse como una fracción de denominador 1 (ejem. 4/1) o como numero decimal (ejem. 4,0), por lo tanto los números naturales y números enteros son racionales.
– Números irracionales
Los números irracionales no pueden representarse en forma fraccionaria.Los números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo.
Debido a ello, los más celebres números irracionales son identificados mediante símbolos. El más conocido es:
(Pi): relación entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro.
– Números reales
Como su propio nombre indica, son todos los números, racionales e irracionales.